BD-REドライブへの書き出しの際に、「書き出し開始」を実行後、「書き込みたいメディアをドライブにセットしてください。」のポップアップが出てくるので、BD-R、BD-RLなどを挿入しても同ポップアップが繰り返し表示されるだけです。ドライブには、Windowsでファイルコピーは問題なくできています。どなたか解決方法を教えてください。

フォーマットの違いがあるかもしれません。

一応そのBD-REをドライブに入れて、TAW5のライティングツールを立ち上げて「RW消去」は行えませんか？

もしくはマイコンピューターでフォーマットしてからでもダメでしょうか？

Intel Rapid Storage Technology がインストールされているなら最新版に変更してみてください。
それで認識するようになるという事例が幾つか掲示板に報告されています。

私もBDドライブを使ってDVD-Rへの書き込みで同じエラーになり、困まりました。
条件が違うため原因が同じかどうかわかりませんが、私の場合古いバージョン5.0.8.26では正常に機能していて、バージョンを最新の5.1.3.57にアップデートしてから現象が発生しました。
古いバージョンに戻しました。

私もまるさんと同様の症状が出て書き込めません。
仕方なくEDIUS付属のオーサリングソフトで焼きました。
バージョンは5.1.3.57です。

ソフトを消して古いバージョンに戻したら使えるようになりました。